记录Manim中参数方程定义的曲线

在Manim中，ParametricFunction是一个用于绘制参数方程曲线的核心工具，它允许用户通过一个参数（通常用t表示）来同时定义x、y、z坐标，从而创建那些无法用单一函数y=f(x)形式表示的复杂曲线，如圆、螺线、利萨如图形等三维或二维轨迹。这个类接收一个返回坐标元组的函数作为输入，并支持自定义参数范围、颜色、线宽等属性，特别适合可视化数学中的参数方程描述的运动轨迹、几何曲线和动态系统。

1.基本介绍

ParametricFunction 用于创建参数方程定义的曲线。与普通函数不同，参数方程使用一个参数（通常为 t）同时定义 x 和 y 坐标。

2.主要参数

  1. function：参数方程函数，接受一个参数（通常为 t），返回一个三维坐标元组 (x, y, z)
  2. t_range：参数范围，格式为 [起始值, 结束值, 步长]，默认为 [0, 1, 0.01]
  3. color：曲线颜色
  4. stroke_width：线条宽度
  5. dt：微分步长（影响导数计算）
  6. discontinuities：不连续点列表
  7. use_smoothing`：是否使用平滑处理

3.实例代码展示

示例1：创建一个圆

创建一个圆，圆是典型的参数方程构造的图形，下面来看代码示例

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from manim import *
import numpy as np

class SimpleParametric(Scene):
    def construct(self):
        # 定义参数方程：圆
        def circle(t):
            return np.array([np.cos(t), np.sin(t), 0])
        
        # 创建参数曲线
        parametric = ParametricFunction(
            circle,
            t_range=[0, 2*PI, 0.01],
            color=BLUE,
            stroke_width=3
        )
        
        self.play(Create(parametric))
        self.wait()

示例 2：更复杂的参数曲线-利萨如图形

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from manim import *
import numpy as np

class ComplexParametric(Scene):
    def construct(self):
        # 利萨如图形
        def lissajous(t):
            return np.array([
                np.sin(3*t),
                np.sin(4*t + PI/6),
                0
            ])
        
        curve = ParametricFunction(
            lissajous,
            t_range=[0, 2*PI, 0.005],
            color=RED,
            stroke_width=4
        )
        
        self.play(Create(curve))
        self.wait()

示例 3：带有动画的参数曲线-螺线

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from manim import *
import numpy as np

class AnimatedParametric(Scene):
    def construct(self):
        # 螺线
        def spiral(t):
            return np.array([
                t * np.cos(5*t) / 2,
                t * np.sin(5*t) / 2,
                0
            ])
        
        parametric = ParametricFunction(
            spiral,
            t_range=[0, 4*PI, 0.05],
            color=GREEN,
            stroke_width=3
        )
        
        # 创建绘制动画
        self.play(Create(parametric, run_time=3))
        self.wait()

示例 4：3D 参数曲线

创建一个螺旋曲线

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from manim import *
import numpy as np

class Parametric3D(ThreeDScene):
    def construct(self):
        # 设置相机
        self.set_camera_orientation(phi=75*DEGREES, theta=30*DEGREES)
        
        # 3D 螺旋线
        def helix(t):
            return np.array([
                np.cos(5*t),
                np.sin(5*t),
                t/2
            ])
        
        curve = ParametricFunction(
            helix,
            t_range=[0, 4*PI, 0.05],
            color=YELLOW,
            stroke_width=3
        )
        
        axes = ThreeDAxes()
        self.play(Create(axes), Create(curve))
        self.begin_ambient_camera_rotation(rate=0.2)
        self.wait(4)

示例 5：使用 lambda 函数

使用 lambda 表达式直接定义参数方程，

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from manim import *
import numpy as np

class LambdaParametric(Scene):
    def construct(self):
        # 使用 lambda 表达式直接定义参数方程
        curve = ParametricFunction(
            lambda t: np.array([
                np.cos(t) + np.cos(6*t)/2 + np.sin(14*t)/3,
                np.sin(t) + np.sin(6*t)/2 + np.cos(14*t)/3,
                0
            ]),
            t_range=[0, 2*PI, 0.001],
            color=PURPLE,
            stroke_width=3
        )
        
        self.play(Create(curve))
        self.wait()

示例6：四叶玫瑰线参数方程

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from manim import *
import numpy as np

class ParametricFunctionExample(Scene):
    def construct(self):
        # 四叶玫瑰线参数方程: r = sin(2θ) 的笛卡尔形式
        # x = sin(2t)cos(t), y = sin(2t)sin(t)
        rose_curve = ParametricFunction(
            lambda t: np.array(
                [
                    np.sin(2 * t) * np.cos(t),  # x(t)
                    np.sin(2 * t) * np.sin(t),  # y(t)
                    0,
                ]
            ),
            t_range=[0, 2 * PI],  # 完整周期
            color=RED,
            stroke_width=4,
        )

        self.play(Create(rose_curve))
        self.wait()

4.总结

  1. ParametricFunction 适合绘制不能用单一函数 y=f(x) 表示的曲线
  2. 合理选择 t_range 的步长以平衡视觉效果和性能
  3. 可以使用 discontinuities 参数处理不连续点
  4. 结合 ThreeDScene 可以创建三维参数曲线
  5. 利用导数方法可以添加切线等几何元素

通过灵活运用 ParametricFunction，你可以创建各种复杂的数学曲线和可视化效果。